Формула Муавра.

Для любого $n \in \mathbb{N}$: $$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^{n}=\cos n\varphi+i\sin n\varphi$$

По индукции. База индукции очевидна. Шаг индукции: Пусть $(\cos\varphi + i\sin\varphi)^{k-1} = \cos((k-1)\varphi) + i\sin((k-1)\varphi)$. Тогда: $$\begin{align} (\cos\varphi + i\sin\varphi)^{k} &= (\cos\varphi + i\sin\varphi)^{k-1} \cdot (\cos\varphi + i\sin\varphi) = \\ &= (\cos((k-1)\varphi) + i\sin((k-1)\varphi)) \cdot (\cos\varphi + i\sin\varphi) \\ &= \cos(k\varphi) + i\sin(k\varphi) \end{align}$$ $\square$